北海道は閉集合

「日本が閉集合であることを用いて北海道が閉集合であることを示せ.」

今週の現数奇の問題です。難しかったですね。この問題の解説を書きました。以上が図(よく使い回されてるやつ)、以下が証明です。有名事実「北海道⊂日本⊂北海道」を使います。

(証明1...そのまま) 北海道⊂日本⊂北海道により, 日本=北海道を得たので示された. (証明終わり)

(コメント) 日本=北海道なら、俺はどこにいるんだ？(哲学)

(証明2...点列による) 北海道から任意に収束する点列をとる. 北海道⊂日本より, この点列の収束値xは日本に含まれる. 更に日本⊂北海道より, x∈北海道であるから北海道は閉集合. (証明終わり)

(コメント) 本質は1と同じで北海道⊂日本⊂北海道ですね。

(証明3...補集合を考える) 北海道の補集合をXとおき, Xから任意に元xをとる. 日本⊂北海道からxは日本の補集合Yに含まれる. 日本は閉集合なのでYは開集合であり, あるr>0に対しB(x,r)⊂Y. また北海道⊂日本からその補集合についてY⊂X. よってB(x,r)⊂XからXは開集合, すなわち北海道は閉集合. (証明終わり)

(コメント) やはり北海道⊂日本⊂北海道。くどい証明。B(x,r)は中心x,半径rの開球。

ちなみに本州∪四国∪九州は日本と北海道の差集合なので、ここから本州=四国=九州=∅も示されます。∅は空集合を表してます。

なんじゃこりゃ？